DERIVADAS

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Quiere decir que la derivada de una función en un punto al límite, si existe, del cociente incremental:

Y se insistirá “ese límite, si existe se llama derivada de una función en un punto”. (Obviamente es h = x – x0 )

 Se deben recalcar varias cosas, a saber. 

1°  Si  NO  EXISTE  el  límite  del  cociente  incremental,  la  función  no  es derivable EN ESE PUNTO.

2° La derivada, como todo límite que se precie de tal, es un número real y sólo es eso: UN NUMERO REAL. De ahora en más será PECADO CAPITAL decir “La derivada es la tangente” Si se dice eso, significa que se ha confundido el concepto de derivada en un punto con la INTERPRETACION

GEOMETRICA de ese número real llamado derivada. Este párrafo debería ser leído, por lo menos, diez veces. 

3°  Como toda función con límite es igual a este más un infinitésimo, se puede escribir

de donde  

como ϕ(x) → 0 cuando Δx → 0 resulta  :

                Δf (x ) ≈ f ′(x )Δx

Que se interpreta como que el incremento de la función tiende a cero cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Eso, simplemente es CONTINUIDAD. De donde  “Toda función derivable en un punto es continua en ese punto. La expresión en negrita debería ser leída, por lo menos, diez veces.

4° La inversa no es cierta.  Una función continua en un punto no necesariamente es derivable en ese punto.  Tómese, por ejemplo la función valor absoluto ⏐ x ⏐ en x0 = 0 y se tendrá un buen ejemplo de lo dicho. La expresión en negrita debería ser leída, por lo menos, diez veces.

5° La interpretación geométrica de la derivada en un punto –un número real- es la de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto con el semieje positivo de las “x”. En otras palabras, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto considerado.

6° Una barbaridad cuyo culpable debe ser Buenaventura Cavallieri es decir que dos puntos próximos [x0,

f(x0)] y [x0 + h, f(x0  +h)]  en  la  curva determinan una secante y que cuando h →0 el segundo punto se corre sobre la curva hasta que, al quedar junto al primero, entre los dos determinan la tangente  a  la  curva.    El  tema  es  conocido  como  la  teoría del poroto deslizante. Seguramente quienes creen y repiten este disparate no saben que los números reales NO SON NUMERABLES y que siempre “entre dos porotos caben otros infinitos porotos” de forma tal que no hay sucesivo de x0 real. De ahora en más decir esto o algo parecido merecerá de inmediato y sin apelación posible, tarjeta roja. Este párrafo debería ser leído, por lo menos, diez veces.

CALCULO DE DERIVADAS

Luego de la definición y debidamente metabolizadas las cuestiones anteriores, corresponde calcular derivadas. La pregunta pertinente es ¿cómo se hace eso? La respuesta  en inmediata: calculando límites indeterminados de la forma 0/0.

Derivada de funciones implícitas. 

 Si la relación funcional entre la variable dependiente y la 

independiente está dada por una expresión del tipo F(x,y) = 0, en realidad 

F[x,y(x)] = 0 se puede calcular 

Derivada de funciones implícitas.

 Si la relación funcional entre la variable dependiente y la independiente está dada por una expresión del tipo F(x,y) = 0, en realidad

F[x,y(x)] = 0 se puede calcular

¿Qué es la FUNCIÓN DERIVADA?

 Si el cálculo del límite que define la derivada se efectúa en un punto genérico x en lugar de hacerlo en uno específico x0, el resultado es la FUNCION DERIVADA que en cada punto  donde está definida da el valor numérico de la derivada en ese punto. Se debe ser cuidadoso en la consideración de los intervalos en que esa función está definida.

Derivada de un producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Videos Sobre derivadas

En el video de abajo  se explica a qué nos referimos cuando hablamos de derivadas, y de donde sale la fórmula para hallar la derivada de una función en un punto. Espero que puedan entenderlo y les sea útil e interesante

Este ultimo video trata sobre la derivada de una función. A partir de la regla de la cadena y la tabla de derivadas más comunes, obtendremos la derivada de algunas funciones complejas. Después procederemos a simplificar el resultado, probablemente el paso más difícil.