Funciones Matematicas

  Funciones En Matemática

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En conclusión las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

                           x -------->   x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Otro ejemplo seria:

 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Existen distintos tipos de funciones las cuales son :

Función Lineal

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición:    f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a  a.x+b

Definición:  Las funciones lineales son polinomios de primer grado.    ver grafica     ejes

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7        b(x) = -4x+3     f(x) =  2x + 5 + 7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla,   f(x) =  9x + 2

Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos  f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números  reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado.  Para graficarla haremos una tabla de valores.

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

Le vamos dando valores a "x".   ¿Que valores le podemos dar?  Cualquiera que este dentro del dominio. 

Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6        f(5) = 4

Entonces al 5 le corresponde el 4.   Nuestro punto es el (5,4). 

¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados?

Si el eje contiene un 0 se traza de la siguiente manera: 

Si contiene dos números diferentes a 0 se traza de la siguiente manera dependiendo el signo:

Luego de darle el valor a la variable a todos los elementos de el dominio y obtenemos los resultados procedemos  hacer la gráfica de una función lineal.  Construyendo juntos la gráfica de una recta.

Aca nos dan una recta y la formula para sustituir las x :

Le damos valor a A x  segun el dominio :

Depende de el rango (resultado de al sustituir la x), unimos los puntos:

En este casco quedo asi :

Función Cuadrática:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así:

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

DEFINICIÓN: Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.

      y= f(x) = ax²+bx+c  con a 0.

Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.

En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales.

Ejemplos de funciones cuadráticas: 

A(x) = 3x²+5x-8      P(x) = -2x²-7x+1     C(x) = x²-1       D(x) =  -x²

A la hora de graficar una función cuadrática debemos saber que siempre será una parábola, esta parábola va a cambiar depende del signo de a en la función:

ax²+bx-+c

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5

Grafica

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3

Para empezar a construir la parábola debemos primero conocer los Puntos de corte con el eje X

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Quedándonos de la siguiente manera.

f(x)= ax² + bx +c =0

Además de ellos debemos tener claro que unos de los pasos para resolver la ecuación es teniendo el vértice:

Un punto importante en la grafica de una función cuadrática es el vértice de la parábola, conociendo el vértice podemos orientarnos en el momento de hacer la grafica.

En el análisis de ciertos problemas también es importante conocer el vértice de la parábola.

El vértice de una función se saca con la siguiente formula:

b/2.a=

Otra de las funciones que usamos es la discriminante.

DISCRIMINANTE: En la fórmula de Bháskara aparece la raíz cuadrada del término b²-4.a.c  que lo usaremos mucho.   A este término se le llama discriminante, porque no ayuda a discriminar si la función cuadrática tendrá o no raíces reales. Vamos ahora a ver como se hace esto.   ¿Cuándo existe una raíz cuadrada?  ¿Siempre se puede hacer esta operación? Dicho de otra forma, ¿a cuáles números se les puede calcular la raíz cuadrada?

Como en la fórmula de Bháskara aparece una raíz cuadrada, ésta se podrá hacer siempre que el número al que se la apliquemos sea positivo, o cero.

Para resolver una función cuadrática podemos aprender a resolverla con este video:

Función Racional

Las funciones racionales son  expresiones que tienen forma  parecida a  los números racionales o fraccionarios, como también se les conoce,  un numerador y un denominador,  en el caso que vamos a estudiar estos términos serían  funciones. También se les conoce como funciones polinómicas porque sus términos son polinomios. Atendiendo a estos señalamientos la función racional se expresa de la siguiente manera:

Los más usuales son:

1. Funcion  donde el numerador es una constante y el  denominador  un monomio de grado 1.

Es una función racional, debido a que su numerador es la función constante y su denominador es la función identidad.

2. Función  donde el numerador es una constante y el  denominador un binomio  de grado 1.

En este caso el valor 3 para x anula el denominador por lo que  f(x) existe para x diferente de 3.

Tanto el numerador como el denominador pueden ser cualquier polinomio, siempre y cuando no existan valores para  la o las variables que anulen el denominador, es decir el denominador debe ser diferente de cero.

Dominio y rango de la función racional.

a. El dominio de la función racional, está formado por todos los valores de “x” en donde la función esté definida.

Como la división por cero no está definida, se excluyen del dominio los valores de “x” que anulan el denominador.

En el ejemplo:

Para hallar su dominio se excluyen los valores de x que anulen el denominador y para ello se iguala a cero este último.

En la gráfica vemos que:

 Entre -00 y  0 la curva  varía entre 0 y  -00, es decir, cuando x se acerca a 0, f(x) se aproxima a -∞ y cuando x se aproxima a -00 f(x) se acerca a 0, siendo 00 el símbolo de infinito.

Entre 0 y +00   la curva  varía entre 0 y  +00, es decir, cuando x se acerca a 0, f(x) se aproxima a +00 y cuando x se aproxima a +00 f(x) se acerca a 0. 

Cuando la función toma el valor de cero, no existe; ya que la división por cero no está definida.

Entonces el Dominio de esta función está formado por todos los números reales menos el cero, es decir  Dom  f(x) = IR - { 0 }.

También se dice, que en x = 0 la función tiene una asíntota vertical.

Para hallar el rango de la función racional se despeja la variable “x” en función de “y” y se hace el mismo procedimiento que para hallar el dominio.

Como y = f(x) nos queda que:

Luego f(x) debe ser diferente de 0 (f(x) ≠ 0), por lo tanto el Rango de la función en cuestión, es el conjunto de todos los números reales menos el 0. Ranf(x) = IR - { 0 }.

En el caso de la función f(x) = 2/(x-3) cuya gráfica es la que se presenta a la izquierda,  el Dominio se halla de la misma  forma:

a. Igualamos el denominador a cero.

x - 3 = 0, x = 3

El Dominio y el Rango se determinan de la forma siguiente:

Dominio

Dom  f(x) = IR - { 3 }

Rango

Despejamos x en la ecuación:

Aquí también aplicamos el criterio de que f(x) = y debe ser diferente de 0, por lo que el Rango queda definido de la forma siguiente.

Ran  f(x) = IR - { 0 }

La gráfica de una función racional deberá ser parecida o de la misma forma que esta gráfica: 

Como resolver una función racional:

Función Inversa

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Imagina que tienes la función y = f(x). Tú le das un valor (x) y ella te devuelve otro (f(x)).

Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor f(x) nos devolviera x, es decir, una máquina que haga la transformación inversa de f(x).

En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función f sobre los números que le damos.

Función inversa:

Sea f una función con dominio Xf y contradominio Yf. Si existe una función g con dominio Xg y contradominio Yg tal que:

i. f(g(x)) = x para toda x 2 Xg

ii. g(f(x)) = x para toda x 2 Xf

Entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra.

f^-1   Denota la función inversa de f .

En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por (x, f(x)) obtenemos (f(x), x), que no son sino los puntos de la función inversa f1

Es decir, el dominio de f es el contradominio de f1 y el contradominio de f es el dominio de f1

Aca podemos ver su definición mejor explicada:

No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función.

Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio.

Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa).

En otras palabras, para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa.

Quiere decir que si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene inversa. Si y 0 está en el contradominio de la función f , entonces este valor tiene asociado un único valor x0 a partir del cual se le calculó usando f . Es decir, y0 = f(x0).

Si definimos la función g que toma como su dominio al contradominio de f y asignamos al contradominio de g los elementos del dominio de f , estamos diciendo que g es la función inversa de f .

Tanto f como g son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio», impuesto por la definición de función.

Para calcular la función de la inversa se mostraran los siguientes pasos :

·         Por definición de función inversa, para cada x le corresponde un y y viceversa.

·         La función «directa» es: y = 2 x + 1.

·         La función inversa «deshace» la transformación, es decir, le damos y y ésta nos devuelve x.

·         En otras palabras, la variable dependiente de la función «directa» viene siendo la variable independiente de la función inversa.

·         Y la variable dependiente de la función «directa» juega el papel de la variable independiente en la función inversa.

·         Así que vamos a despejar x en términos de y.

Esta expresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de y y ésta nosdevuelve el valor de x.

·         Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa:

·         Ahora Vamos a verificar que el resultado del ejemplo anterior es correcto. Para eso, vamos a calcular valores de y para la función «directa» y después vamos a hacer los cálculos respectivos para la función inversa.

Ahora veremos con un video como resolver mejor la función inversa :

Función Exponencial

La función exponencial que tiene como base el numero e, se le denomina como función exponente natural y es la función expresada por:

F(x)= e^x.

En donde e es un numero irracional que puede expresarse con cualquier grado de exactitud usando una serie infitnita.

Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como :

F(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

.

Propiedades de la función exponencial :

Como colocar el numero e en la calculadora:

Gráfica de una función exponencial:

Como resolver una función exponencial:

Función enesima o radical

Por funciones radicales entendemos aquellas que llevan una raíz en su definición. Dicha raíz puede ser cuadrada, cúbica, cuarta…Pero en este curso, por sencillez, nos limitaremos a raíces cuadradas. Trabajaremos además sólo con funciones de la forma con a y b tomando valores cualesquiera (pero , pues en caso contrario no tendríamos x debajo de la raíz y ya no sería una función radical). Recordemos, además que una raíz cuadrada siempre tiene dos signos, positivo y negativo, pero por la definición de función, a cada x sólo le puede corresponder una y. Si tomáramos los dos signos de la raíz, obtendríamos como "representación" de esta relación algo así como esto:

Propiedades de esta funcion :

Como resolver una función radical: